破产风险
在达到目标前输掉整个资金池的概率。
对等额赔率注，破产风险遵循赌徒破产公式。资金池$500、每次下注$10、目标$600时，你约有57%的概率达到目标，其余概率会破产。
问题
你有a个单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→的资金池资金资金池专门留作游戏的总金额。资金池管理是决定每注和每个场次承担其中多少风险。阅读全文→，想达到a + b个单位注；每次以一个单位注下注等额赔率注赌注等额赔率注红/黑、单/双、大/小。覆盖18个号码，赔付1:1。阅读全文→，获胜概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→p = 18/37，亏损概率q = 19/37。你在资金池归零前达到目标的概率是多少？Pascal、Fermat和Huygens在1650年代解出了这个问题，它是概率论最早的结果之一。
赌徒破产公式
P（达到目标）= (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)。破产风险数学破产风险在达到目标或旋转次数前失去全部资金池的概率。阅读全文→等于一减去该值。q/p = 19/18 ≈ 1.0556时，该比率随单位注数量指数增长，所以公式对小单位注的惩罚尤其严重：到达目标所需赌注越多，途中支付2.70%通行费的次数越多。
如何理解
较小的单位注反而不利。尝试以每次$10的赌注将$500翻倍，成功概率为6%；以一注$500进行，成功概率为48.6%。在负期望游戏中，大胆下注、次数更少且本金更大，可使达到目标的概率最大，因为它使庄家优势被应用的次数最少。但它也使你所经历结果的方差数学方差衡量结果围绕期望值分散程度的数值。单号注高，等额赔率注低。阅读全文→最大，并很快结束一晚的游戏。这个定理称为“大胆下注最优”，由Dubins和Savage于1965年证明。
问题的起源
这个问题比轮盘赌更古老。1656年Pascal给Fermat出了一道难题：两名玩家掷三颗骰子，各以12枚计数器开始；掷出11就使一枚计数器向一方移动，掷出14则向另一方移动。二人都解出了它；数学家Pierre de Carcavi通过一封信告诉Huygens后，Huygens于1657年将它作为概率论第一本书的第五题印刷，给出答案但未给证明。十一有27种掷法，十四只有15种，因此每枚计数器有14次中9次向第一名玩家移动；上面公式中双方各有12枚计数器时，他赢得全部的概率约为输掉全部的1,157倍。2.70%的庄家优势小得多，但同一公式显示它在大量赌注中造成的结果。
一次真实的大胆下注
2004年四月，年轻英国人Ashley Revell卖掉几乎所有财物，包括衣服，带着$135,300来到拉斯维加斯的Plaza。他先下了几注小注，然后一次将全部金额押在红赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→上。球设备球沿球道朝转子反方向打出的小球。现代用球由仿象牙材料或特氟龙制成，直径18–21mm。阅读全文→落在红7，他带着$270,600离开。在双零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→轮盘上，这一次旋转的概率为47.37%，平均令他损失$7,121，即一注5.26%的庄家优势。若将相同目标分散到每次$10赌注上，几乎没有希望。大胆下注不会让赌注变好；它只让过程尽可能短。
没有目标时的破产风险
若你只是一直玩到破产，或在N次旋转后停止，问题变为“我的资金池在N次旋转内触及零的概率是多少？”一般N没有闭式解，但本站模拟器可计算：资金池$500、红色注每次$10，100次旋转中几乎从不破产（低于1%），500次中约9%会破产，5,000次中约95%会破产。没有停止规则时，概率趋近100%，这就是庄家优势数学庄家优势赌场平均保留每一笔本金的比例：欧式轮盘赌为2.70%。阅读全文→的长期版本。
- p10 −$500
- p25 −$500
- 中位数 −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
持续多久，以及领先多少
另两个经典结果回答玩家真正会问的问题。没有目标时，在欧式轮盘上，固定等额赔率注平均每个资金池单位注持续37次旋转，美式则为19次；因为每次旋转平均拿走1/37个单位注（美式轮盘为1/19）：100个单位注平均持续3,700次旋转，尽管一半此类场次会在3,134次内结束（参见《场次时长与成本》）。而且，无论资金池多大，欧式轮盘上曾经领先k个单位注的概率是(18/19)ᵏ。一个单位注为95%，十个为58%；但没有任何资金池，无论多深，能使曾经领先13个单位注的概率达到一半；美式轮盘的概率为(9/10)ᵏ，并在7个单位注时降至一半以下。
取得五五概率所需的资金池
把问题倒过来：要在输掉一切前取得指定赢利，至少有五五机会须带多少资金？对于小赢利，不需很多。对于更大赢利，所需资金池急剧上升；超过某点后没有任何资金池足够，因为即使无限资金池，曾经领先那么多的概率也低于一半。Taylor（2021）换一种说法：在美式轮盘上，要有五五机会达到100个单位注，必须从94个单位注开始，以94冒险来赢6。欧式轮盘上需88个。
实用教训
决定你想做什么。若目标是指定赢利，就下大注且少下。若目标是度过漫长一晚，就下小注并接受庄家优势会从大量总投注额资金总投注额一个场次或一段时间内的投注总额，包括再次下注的奖金。也称 handle、action。阅读全文→中抽走2.70%。若目标两者兼有，就必须有所取舍，通常是目标本身。
公式
问题
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
你有$100，目标为$1,000，只在红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→上下注。方案一：每次下注$1。方案二：将拥有的全部资金下注，直至超过$500，然后只下注足以达到$1,000的金额。哪个方案更好，相差多少？
显示解答
答案 方案二，好得多。它约9.0%的时间达到$1,000，接近公平情况下的10%。方案一约10²²次中成功7次。
在公平游戏数学公平游戏双方都没有优势的游戏：每项赌注的期望值都是零。阅读全文→中，无论怎样做，你都会以十次中一次的概率从$100达到$1,000，因为资金的平均价值保持$100。
庄家优势会从每笔赌注中拿走2.70%，所以总下注额越少，就越接近十次中一次。方案二在几笔赌注内决定结果：$100变成$200、$400、$800，然后$200便足够。它约9.0%的时间成功。方案一在行进结束前需要数千笔赌注，每笔很小的优势累积为几乎必然的破产。
这是最简单形式的Dubins–Savage结果（Epstein，2013）：在有利于赌场方的游戏中，按所需金额尽量少次下注。
你有$500，目标为$1,000，一达到目标便停止。你选择一种赌注，重复下注，直至它赢一次或资金耗尽。哪一种的成功机会最大？
显示解答
答案 在红色上一次下注$500：48.6%。所有将资金分散在较小赌注上的方案都更差。
选择每次获胜便足够的本金：单号注赌注单号注一个号码，赔付35:1。阅读全文→上$30赢$1,050，分注赌注分注两个相邻号码，赔付17:1。阅读全文→上$60赢$1,020，以此类推。然后计算资金耗尽前至少一笔赌注获胜的概率。十六笔$30单号注全未命中的概率为(36/37)¹⁶ = 64.5%，因此其35.5%的时间达到$1,000。
表格展示每种赌注。红色最佳，因为一笔就可达到目标，故庄家优势仅在$500上支付一次。六线注赌注六线注相邻两行中的六个号码，赔付5:1。法语：sixain。阅读全文→居第二，因为只需三笔。单笔十二数注赌注十二数注1–12、13–24或25–36，赔付2:1。阅读全文→最差，概率为12/37；即使以$250单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→重复下注直至拥有$1,000或更多，十二数注也只有46.4%的时间达到目标。
Bollman（2024）为美式轮盘制作了同一表格。其十二数注一行有一个笔误：应为12/38 = 31.6%。
赌注本金 × 赌注次数达到$1,000的概率单号注$30 × 1635.5%分注$60 × 835.9%街注$90 × 534.5%角注$125 × 436.7%六线注$166, $166, $16841.2%十二数注$500 × 132.4%红$500 × 148.6%你在红色上下注一个单位注，一次又一次旋转，且资金池资金资金池专门留作游戏的总金额。资金池管理是决定每注和每个场次承担其中多少风险。阅读全文→永不耗尽。第一次旋转后，你盈利一个单位注或亏损一个单位注。你最终恰好再次回到盈亏平衡的概率是多少？
显示解答
答案 37次中36次，即97.3%。在美式轮盘上为38次中36次，即94.7%。
若第一次旋转获胜（37次中18次），你盈利一个单位注，庄家优势会将每个无限场次往下拖，所以迟早会再次经过盈亏平衡：这是必然的。若第一次输掉（37次中19次），你必须爬升一个单位注，最终领先一个单位注的概率为18/19（见上表）。
合计：18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37。
一般而言，概率为1减去单次旋转获胜与输掉概率的差：欧式轮盘为1 − 1/37，美式轮盘为1 − 2/38。没有零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→的游戏中该差为零，概率为1：比分总会回到盈亏平衡。Epstein（2013）给出了通用规则。
Pascal的1656年题目：两名玩家掷三枚骰子，各自以12枚计数器开始。每掷出11点，向第一位玩家移一枚计数器；每掷出14点，向第二位移一枚；其他点数不计。第一位玩家赢得全部24枚的概率多大？若你改为每次旋转在红色上下注1个单位注，对手充当庄家，各有12个单位注，你赢得全部24个单位注的概率又多大？
显示解答
答案 第一位玩家约在1,158次中赢1,157次。你在红色上赢得全部24个单位注的概率仅约34%。
三枚骰子掷出11点有27种方式，掷出14点有15种，因此每次计数器移动时，在42种中有27种移给第一位玩家，即14次中9次。双方各从12开始，赢走一切的概率为1/(1 + r¹²)，其中r是另一方概率与你方概率之比。
对第一位玩家，r = 5/9，(5/9)¹² ≈ 0.00086，因此概率约为0.99914：赔率为9¹²比5¹²，或282,429,536,481比244,140,625，约为1,157比1。Huygens在1657年印出了恰好这些数字。
在红色上，因零号r = 19/18，(19/18)¹² ≈ 1.913：你的概率为1/2.913 ≈ 34.3%。硬币会给出50%。每笔赌注2.70%的庄家优势在许多笔赌注中累积为16个百分点的差距。
轻松一刻
大胆下注是最优的。它也很快结束。
来源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”