题目：生日轮盘
要旋转多少次才会有某个号码重复？远少于多数人的猜测。
37个号码槽设备号码槽转子上37个带编号隔间中的一个。也称 slot、cup。阅读全文→轮盘上的生日问题：只旋转8次后，某个号码已经出现两次的概率就超过一半。玩家把重复读作规律；对公平轮盘而言，它们正是预期行为。
题目
旋转一个公平的欧式轮盘。多少次旋转后，至少两次旋转显示相同号码的概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→会超过一半？大多数玩家猜测在18或19左右，也就是37的一半。答案是8。
解答
计算没有重复的概率，再从一中减去它。经过k次旋转，p（全部不同）= (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)。当k = 8时：1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44，所以p（某个号码重复）≈ 0.56。k = 14时为0.93；k = 20时为0.996。直觉失灵是因为旋转次数配对数按k²增长，且任意一对都可能相同。
为什么赌桌上很重要
显示最近20个号码的结果面板几乎总会显示至少一次重复，通常是两次或三次。玩家看到“17在十次旋转中出现两次”，便断定17是热号；生日问题的计算表明，十次旋转内出现重复的概率为74%，重复的号码是随机的。模式是真实的；其含义却不是。
后续题目
要旋转多少次，某个特定号码，比如17，才会出现两次？这是不同的问题，答案大得多：期望等待时间为74次旋转，而20次旋转内有两个17的概率约为10%。 “某个号码重复”（8次旋转）与“这个号码重复”（74次旋转）之别，正是事后注意到的模式与事先作出的预测之间的全部区别。
试一试
在演示游戏中运行十次旋转，查看历史记录。通常会有重复。再运行一次，重复的号码会不同。这样做十次，你就看到了生日问题数学生日问题需要多少人，才很可能有两人同生日；或需要多少次旋转，才很可能有号码重复。在37个号码槽的轮盘上，8次旋转就足以使概率超过一半。阅读全文→；做一千次（模拟器能做到），你就测量了它。
公式
问题
完全相同，只是37个号码槽取代365天。23人使生日重复概率达到50%；8次旋转使轮盘达到56%。
约19次旋转后为50%。仍属常态。
不是。一台轮盘上数千次旋转或许会；一次重复绝不会。
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
美式轮盘旁的结果面板显示最近16次旋转。上面没有任何号码出现两次的概率有多大？
显示解答
答案 约2.5%：大约40个结果面板中有39个至少显示一次重复。
逐次旋转计算。第一次可以是任何号码。第二次必须避开它：38种结果中有37种。第三次必须避开前两个：38种中有36种。第十六次必须避开前十五个号码：38种中有23种。
相乘：38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246。
没有重复的结果面板才是罕见情况。有重复的结果面板并不能说明轮盘有什么问题。
在欧式轮盘的十次旋转中，17恰好出现五次的概率是多少？任意某个号码出现五次或更多次的概率呢？以及在四次旋转中，任意某个号码至少出现三次的概率呢？
显示解答
答案 17恰好五次：1/315,576。某个号码出现五次或更多次：约1/8,333。在四次旋转中某个号码至少三次：1/349。
17出现五次：选择十次旋转中哪五次，计252种方式，每一种的概率为(1/37)⁵ × (36/37)⁵。合计为1/315,576。
某个号码：37个号码各自有1/308,325的概率出现五次或更多次，得到37/308,325，即1/8,333。两个号码各出现五次的罕见情形被算了两次，但删去它在这个精度下不会改变结果。
四次旋转中出现三次：对一个号码而言，37⁴种可能结果中有4 × 36 + 1 = 145种；对37个号码中的任一个而言，145/37³ = 1/349。
Wizard of Odds解答了这些问题的双零轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→版本；该轮盘对应的数值为1/359,275、1/9,243和1/368。“17”和“某个号码”之间的差距再次体现生日问题数学生日问题需要多少人，才很可能有两人同生日；或需要多少次旋转，才很可能有号码重复。在37个号码槽的轮盘上，8次旋转就足以使概率超过一半。阅读全文→：有37种让人意外的方式。
轻松一刻
某些号码很早重复。那些号码是随机的。
来源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.