凯利准则与轮盘赌
凯利准则告诉拥有优势的下注者应投入多少本金。对轮盘赌，它给出的明确答案是：什么也别下。
凯利本金 = 优势/赔率。优势为负时，公式给出负的比例，意思就是不要下注。该准则仍有助于理解利用偏差的玩家如何确定赌注规模，以及为什么其他人应按预算决定规模。
该准则
John Kelly（1956）问：已知自己拥有优势的下注者，应如何确定赌注规模，才能最大化资金池资金资金池专门留作游戏的总金额。资金池管理是决定每注和每个场次承担其中多少风险。阅读全文→的长期增长？对于赔付为b比1、获胜概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→为p、亏损概率q = 1 − p的赌注，答案是投入资金池的f* = (bp − q) / b。f*为正表示下注该比例；为零或负则表示不要下注。Kelly曾任职于Bell Labs，他的论文《A new interpretation of information rate》将问题置于Claude Shannon的信息论中：在公平赔率下，从有噪声的线路获得提示的下注者，资金池最多能以该线路所传送的信息速率增长。1961年，Leo Breiman证明，长期来看，凯利投注会领先于任何实质不同的策略，并且约以最短时间达到既定目标。
轮盘赌中的凯利投注
对于红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→：b = 1，p = 18/37，q = 19/37；f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37。对于单号注赌注单号注一个号码，赔付35:1。阅读全文→：b = 35，p = 1/37，q = 36/37；f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295。每种标准赌注都给出负的凯利比例，因为每种赌注都有负优势，增长最优的本金为零。轮盘赌凯利投注是对庄家优势页面结论的正式表述：负期望赌注不存在能令资金池增长的投注规模。
凯利确实适用之处
利用偏差的玩家拥有优势，也面临规模问题。Jagger、García-Pelayos和Eudaemons都必须决定对已测得的优势下多少注；下注太少会浪费优势，下注太多则可能在优势显现前破产。对于命中率为1/30的号码槽设备号码槽转子上37个带编号隔间中的一个。也称 slot、cup。阅读全文→，凯利建议每次旋转在该号码上下注资金池的0.57%：若资金池为$10,000，每次旋转约$57，典型增长率约为每次旋转0.054%，1,000次旋转后约为×1.7。平均收益是其两倍，即每次旋转0.11%，但凯利针对的是典型资金池，而非会被少数极其幸运的过程抬高的平均资金池。由于优势估计存在不确定性，实务中通常选择半凯利。
典型值与平均值
典型资金池和平均资金池之间的差距很大。设一个号码槽的命中率为1/25，优势为44%，这是Thorp为其装置给出的数值。凯利建议在其上投入资金池的1.26%。经过1,000次旋转，典型资金池约增长11.5倍，而被少数极其幸运的过程抬高的平均值约增长249倍。下注高于凯利比例会抬高平均值、降低典型结果：以两倍凯利比例下注时，典型资金池只会翻倍；以凯利比例的两倍半下注时，典型资金池会缩小，尽管每一注仍有44%的优势。下注较少的代价不大：半数本金保留约四分之三的增长。
优势只是猜测时
凯利假定优势已知。在赌桌上，优势是估计值，且该估计通常过高。Epstein基于Thorp的44%所举的例子是：在双零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→轮盘的1,225次旋转中，一个号码出现49次，即1/25、44%的优势和1.26%的凯利本金。但公平双零轮盘有38个号码，其中出现次数最多的号码在1,225次旋转中达到49次或更多的概率约为九分之一。任何记录中最频繁的号码，也是最受运气帮助的号码；所以即使真正有偏差的号码槽，在记录中看起来也会比实际更好，这就是赢家诅咒。若该号码槽实际没有偏差，则凯利本金只是一项平均损失5.26%的赌注。通常的做法是只下注凯利比例的一部分，并持续计数，直至优势能在一份新记录中存续（见“如何检测轮盘偏差”）。
拥有优势的人
知道优势不等于善于利用它。Haghani和Dewey（2016）让61人各拿$25，对一枚被告知正面出现概率为60%的硬币下注半小时，赢得金额上限为$250（参与者只有达到上限时才知道）。凯利建议每次都在正面上投入资金池的20%，作者估计，稳定地下注10–20%可使约95%的人达到上限。只有21%的参与者达到了。28%破产，61人中有18人在一次抛掷上押上全部资金，约三分之一最终低于起始的$25，平均赔付资金赔付获胜赌注得到的赔付，以“X比1”报价，并另行返还本金。阅读全文→为$91。61人中只有五人听说过凯利准则。有优势时，赌注大小决定你能否保留优势；没有优势时，如同在公平轮盘上，任何规模都无济于事。
应改用什么
没有优势时，确定规模是预算问题，不是增长问题：本金 = 你愿意每次旋转花费的金额，依据每小时预算和赌桌节奏得出（见资金池管理页面）。凯利对普通玩家的贡献是其答案的清晰性：零。你投入的每一分非零本金，都是由你选择而非任何公式优化的游戏价格。
关于分数凯利和“资金管理”的说明
以“轮盘赌凯利”为名、建议每次按资金池固定百分比下注的系统，本质上是固定下注策略固定下注每次旋转都下同一金额。所有加注系统用它作为比较基准。阅读全文→，只是本金会递减。它们损失总投注额资金总投注额一个场次或一段时间内的投注总额，包括再次下注的奖金。也称 handle、action。阅读全文→的2.70%；而且由于本金随亏损缩小，它们让破产变慢，而非变得不太可能。这是使预算维持更久的合理方法；但它不是凯利，凯利会说停止。
公式
问题
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
Thorp和Shannon的预测设备带来约44%的优势。针对单个预测号码，凯利公式建议下注资金池资金资金池专门留作游戏的总金额。资金池管理是决定每注和每个场次承担其中多少风险。阅读全文→的1.26%。若同样44%的优势来自一笔分散在五个相邻号码上的赌注呢？
显示解答
答案 凯利公式此时建议下注资金池的7.1%，资金池增长速度接近六倍：1,000笔赌注后约增长1.25百万倍，而单号注约为11.5倍。
具有44%优势的单号注赌注单号注一个号码，赔付35:1。阅读全文→以0.04的概率获胜，因为36 × 0.04 = 1.44。凯利下注额为优势除以赔率：0.44/35 = 1.26%。每笔赌注的典型增长为0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244，因此1,000笔赌注使资金池乘以约e^2.44 ≈ 11.5。
将一笔本金分散在五个号码上，赌注以0.20的概率获胜，按36/5:1，即6.2:1：仍有44%的优势，因为0.2 × 7.2 = 1.44。凯利下注额变为0.44/6.2 = 7.10%，每笔增长为0.01404，约为前者的5.75倍。1,000笔赌注后为e^14.04，约1.25百万。
优势相同；波动较小。每五次赢一次的赌注可以承受资金池中较大的一部分而不冒破产风险，凯利增长也会对此给予回报。Thorp（1984）以此例说明为何预测玩家会下注扇区轮盘扇区轮盘上连续的一段号码槽，与布局上的一组号码不同。阅读全文→。在实践中，五个邻号注赌注邻号注一个号码及其在轮盘两侧相邻的两个号码，共下五枚单号注筹码。阅读全文→的优势略低于最佳单个号码（见“优势玩法”）。
一名玩家找到两个相邻的号码槽设备号码槽转子上37个带编号隔间中的一个。也称 slot、cup。阅读全文→，每个都在25次中命中1次，而非37次中1次。他们应以17:1下注两者之间的分注赌注分注两个相邻号码，赔付17:1。阅读全文→，还是在各号码上押单号注？凯利公式建议下注多少？与一个这样的号码槽相比，资金池增长多快？
显示解答
答案 没有区别：分注为资金池的2.59%，或每个号码为1.29%。1,000次旋转后，典型资金池约增长155倍；一个号码槽时为11.5倍。
分注以概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→2/25 = 0.08获胜，按17:1，因此对每单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→本金返还18 × 0.08 = 1.44：优势为44%，与一个有偏差的号码槽相同。凯利下注额是优势除以赔率：0.44/17 = 2.59%。
在两个号码上各下注1.29%的单号注，结果完全相同。任一号码开出时，一枚筹码资金筹码代表固定金额、放在布局上用于下注的代币。也称 check。阅读全文→按35:1获胜，另一枚输掉，净结果为资金池的34 × 1.29% = 44%，正如分注的赔付；两个号码都未开出时，两枚都输掉。
每次旋转的增长为0.00505，而一个号码槽为0.00244，因此1,000次旋转后，典型资金池增长e^5.046 ≈ 155倍，而不是e^2.44 ≈ 11.5倍。两个好号码的价值远不止一个好号码的两倍，这就是为何偏差玩家会下注一组号码。Thorp（1984）作了同样的比较。
轻松一刻
使资金池增长最优的轮盘赌本金，是人人早已知道的一个数。
来源
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”