题目：赌桌限额
赌桌限额$500，马丁格尔的起注$10。它多常失败，失败时损失多少，提高限额有帮助吗？
连续六次亏损就会失败：每个周期1.8%，100次旋转的场次约60%。一次失败损失$630。将限额提高到$5,000会使失败较罕见（每周期0.25%），也使损失更大（$5,110）。无论限额是多少，每投入一美元的期望损失都是2.70%。
题目
一名玩家在红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→上下注$10，每次亏损后翻倍，获胜后重置。赌桌最大限额为$500。（a）连续亏损多少次会使加注系统策略加注系统依据先前结果改变本金的任何规则。负向加注系统在亏损后提高本金，正向加注系统在获胜后提高。阅读全文→失败？（b）每个周期的概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→是多少？（c）失败时损失多少？（d）$5,000限额如何改变答案？（e）是否有任何限额能使该系统盈利？
解答（a）–（c）
本金依次为：10、20、40、80、160、320。第七次应为640 > 500，因此六次亏损会使其失败。（b）红色的p（亏损）= 19/37；(19/37)⁶ = 0.0183，约为每周期1.8%。一个周期平均持续约两次旋转，因此100次旋转的场次约有50个周期，p（至少一次失败）≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%。（c）10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630，即63个基础单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→，而该周期本想赢得$10。
解答（d）
在$5,000限额下，允许本金最高至2,560；第十注5,120会被拒绝。连续九次亏损使其失败：(19/37)⁹ ≈ 0.25%每周期，约占100次旋转场次的11%。失败损失：10 + 20 + … + 2,560 = $5,110。玩家以更大的灾难为代价，换来了较罕见的灾难。经过许多场次，失败的期望成本为p × 损失 ≈ 0.0183 × 630 = $11.5每周期（$500限额），以及0.0025 × 5,110 = $12.8（$5,000限额）；除四舍五入外，它们相同，且等于周期的期望损失数学期望损失期望值乘以总投注额；一个场次或一段时间内平均损失的金额。阅读全文→减去成功周期赚得的$10。
解答（e）
不能。任何限额下，每周期的期望损失 = （该周期的期望总本金）/37，因为每一注都是其自身的−1/37。限额只决定损失如何分布在许多小额获胜与少数大额亏损之间。若没有限额且资金池资金资金池专门留作游戏的总金额。资金池管理是决定每注和每个场次承担其中多少风险。阅读全文→无限，加注系统就会“有效”，即永不失败；同时它也会投入无界的总额，其期望损失是该无界总额的2.70%。阻止马丁格尔策略马丁格尔每次亏损后将赌注加倍的加注系统。关于它能做什么和不能做什么，请参见策略部分。阅读全文→奏效的不是赌桌限额赌桌赌桌限额允许的最小和最大赌注。最大限额会阻止翻倍加注系统。阅读全文→，而是算术。
两个真实赌桌
Thorp的例子是一个起注$1、最大限额$1,000的赌桌，玩家希望以每次一美元的方式赢得$30买晚餐。本金1、2、4…512允许十注，因此连续十次亏损会使加注系统失败：欧式轮盘上每785个周期一次（美式轮盘上每613个周期一次），成本为$1,023。三十个周期全部成功的概率为96.2%。另3.8%的情况下损失约$1,000，而该晚的平均结果为−$9.17，恰好是三十个周期平均投入$339的1/37。起注$5、最大限额$2,000的赌桌没有不同：本金最高至$1,280，允许九注；欧式轮盘上每403个周期一次（美式轮盘每323个周期一次）发生失败，成本为$2,555。
一名富有的玩家
给加注系统一个深厚的资金池而非低限额：1,000个单位注，起注一个单位注，在红色上进行1,000次旋转；每当下一次翻倍超过剩余资金时，就从一个单位注重新开始。我们模拟了一百万个这样的夜晚。在欧式轮盘上，52%最终领先，21%输光全部资金，平均结果为−124单位注。即使在没有零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→、每一注都公平的游戏中，也只有约60%最终领先。通常的一晚是小额获胜；平均值由以零结束的夜晚支付。
启示
赌场设置限额是为限制自身方差数学方差衡量结果围绕期望值分散程度的数值。单号注高，等额赔率注低。阅读全文→，不是为击败系统。击败马丁格尔是它们乐见的副作用，反正算术也会击败它。认为限额才是问题的玩家，找到了悬崖，却把它误认为坡度。
公式
问题
它让你能撑到更高的限额，在那里失败较罕见、损失更大。每投入一美元的期望损失不变。
本金为10、30、70、150、310：$500限额在五次亏损后触及，失败损失为$570。同样是2.70%。
使单个玩家不能下注超过赌场储备金能轻松赔付的数额。即方差管理。
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
一套马丁格尔策略马丁格尔每次亏损后将赌注加倍的加注系统。关于它能做什么和不能做什么，请参见策略部分。阅读全文→从红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→上的$100开始，每个周期最多允许n笔赌注：连续输掉n笔后，它放弃并重新开始。将一个周期的平均结果写成n的公式，并算出欧式轮盘上5、6和7笔赌注的结果。
显示解答
答案 平均值为100 × (1 − (38/37)ⁿ)：5笔赌注为−$14.26，6笔为−$17.35，7笔为−$20.52。允许更多赌注会使平均周期更差，而非更好。
除非全部n笔赌注均输，一个周期会赢$100；这以qⁿ的概率发生，其中q = 19/37。全部输掉时，本金100、200……100 × 2ⁿ⁻¹之和为100 × (2ⁿ − 1)。因此，平均值为100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)。
这里2q = 38/37，略大于1，所以(2q)ⁿ随n增长，平均值下降：n = 5时为1.1426和−$14.26；n = 6时为1.1735和−$17.35；n = 7时为1.2052和−$20.52。更长的阶梯较少输掉，分别占周期的3.6%、1.8%和0.9%，但每次损失是两倍，每个周期有更多资金经过赌桌，且每笔均承担2.70%。
美式轮盘中2q = 40/38，数值为−$29.24、−$36.04和−$43.20（Taylor，2021）。没有零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→的游戏中2q = 1，无论阶梯多长，每个周期平均恰为零。
“大马丁格尔”在输后将本金翻倍并加一单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→，因此本金依次为1、3、7、15、31……若第一次获胜发生在第1、第2、第3或第k笔赌注，盈利多少？以$10为一个单位注、上限$500时，一个周期多常中断，平均成本又是多少？
显示解答
答案 第k笔获胜时留下k个单位注的盈利：+1、+2、+3，以此类推。在$10和$500时，周期在五次连输后中断，占3.57%的周期，结果为−$570。平均而言，一个周期从$85.73的本金中损失$2.32：2.70%。
第k笔本金为2ᵏ − 1个单位注：1、3、7、15、31。前k − 1笔本金之和为2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1。第k笔获胜赔付2ᵏ − 1，因此周期以(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k个单位注的盈利结束：获胜前每输一次多赢一个单位注。
以$10为一个单位注时，本金为$10、$30、$70、$150和$310；下一笔$630超过$500上限。连续五次输掉，(19/37)⁵ = 3.57%，成本为10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570。
平均值：当k = 1至5时，获胜以(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37的概率带来$10 × k；中断以3.57%的概率损失$570；合计−$2.32。每周期平均下注资金为$85.73，2.32/85.73 = 2.70%。同一赌桌上的普通马丁格尔在六次连输后中断，占1.83%的周期，结果为−$630，从$64.20的本金中损失$1.74：仍为2.70%。
一名玩家计划在红色上使用马丁格尔，首次下注$1，赌桌限额为$1,000，因此可下注十次：$1、$2、$4，依此类推至$512。一个周期多常十笔全输，平均需要多久发生一次，200笔赌注的一晚又多常这样结束？
显示解答
答案 一个周期十笔全输约每784次一次，成本为$1,023。平均约为1,600笔赌注，200笔赌注的一晚约11%的时间会碰壁。一个周期仍从$11.31的本金中平均损失$0.31：2.70%。
红色赌注以19/37的概率输，包括零号。连续十次：(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128，约1/784。本金1 + 2 + 4 + … + 512之和为$1,023。
一个周期平均耗费2.05笔赌注，所以784个周期约为1,600笔赌注。按每次旋转计，十次连输在200笔赌注的某处出现的概率为11.3%。
灾难之间，玩家每周期赢$1：坏的一次前约有$783，然后−$1,023，整段约为−$240。按每周期计：1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。每周期下注资金：1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。且−0.31/11.31 = −2.70%。
比较赌桌限额$500、首次下注$10的情形，共六笔赌注：约每55个周期碰壁一次，200笔赌注的一晚有84%的时间遇到它。更高的限额使崩盘更罕见且更大，并不会更便宜。
轻松一刻
在每个限额下，失败更罕见也更大。乘积不变。
来源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.