长期收敛：轮盘赌中的大数定律
平均值如何趋近−2.70%，以及为何所需时间远长于直觉所想。
每次旋转的平均损失会随旋转次数累积而收敛至−1/37，其离散程度按1/√N缩小。1,000次红色赌注后，平均值通常在其期望值±3%以内。
大数定律
独立赌注的累计平均值趋于期望值数学期望值长期来看每注的平均结果。每个标准欧式赌注均为本金的−1/37。阅读全文→。以一个单位注资金单位注一个系统或玩家用作基础的赌注金额。加注系统用单位注描述，因此适用于任何赌桌。阅读全文→进行N次等额赔率旋转后，每次旋转平均结果的期望值为−1/37，标准差数学标准差方差的平方根；结果与期望值之间的典型距离。阅读全文→为1/√N。N = 100时，该离散程度是本金的10%，几乎是2.7%信号的四倍。N = 1,000时为3.2%，约等于该信号。N = 10,000时为1%，庄家优势清晰可见。庄家优势在一场次中看不见，在一年里却无可置疑。
收敛的与不收敛的
每次旋转的平均值会收敛。总额不会：随着N增长，它会在期望下以N的约2.7%进一步偏离零，周围的离散程度为√N。已用$10在红色上进行了10,000次旋转的玩家，期望损失为$2,700，上下波动约$1,000。红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→的累计比例早已稳定在约48.65%；累计余额却没有稳定到任何地方。
- p10 −$440
- p25 −$280
- 中位数 −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
直觉为何失灵
人们期待庄家优势很快显现，因为2.70%听起来很大；也期待长序列会“均衡”，因为大数定律数学大数定律独立结果的平均值会随着试验次数增加而收敛于期望值。阅读全文→说平均值会收敛。这两种直觉都误判了尺度：相对于单次旋转的方差数学方差衡量结果围绕期望值分散程度的数值。单号注高，等额赔率注低。阅读全文→，庄家优势很小（σ = 1单位注，而期望值 = 0.027），所以需要(1/0.027)² ≈ 1,400次旋转才会达到一个标准差的可见程度。平均值的收敛也不会把总额拉回，只会稀释过去的波动。
其他赌注的收敛
单号注赌注单号注一个号码，赔付35:1。阅读全文→的（σ）= 5.84，因此相同计算给出，庄家优势要达到一个标准差，需(5.84/0.027)² ≈ 47,000次旋转。单号注玩家可以玩多年，仍无法在自己的记录中把庄家优势和运气区分开；而他们支付的2.70%恰与数周内就能看出的红色赌注玩家相同。
对检验系统的启示
任何声称系统有效的人，都应能展示超过10,000次旋转、有记录的正平均值。等额赔率下注在1,000次旋转后平均值为正，在零假设下是五分之一概率的事件；在100次时则几乎等同抛硬币。本网站的模拟器可在一秒内运行2,000个所选长度的场次，证据多于任何证言。
公式
问题
随着继续游戏，你再次领先的概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→趋于零。总额会无界地下移。
不是。它意味着过去的波动会成为更大样本中更小的一部分。
等额赔率注约需10,000次，庄家优势才清晰可见。单号注约需50,000次。
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
两位朋友玩20个回合的公平游戏数学公平游戏双方都没有优势的游戏：每项赌注的期望值都是零。阅读全文→，即抛硬币，或将零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→本金返还的红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→对黑色赌注黑押18个黑色号码的等额赔率注。法语：noir。阅读全文→，并记录累计比分。计算各自领先的回合数（平局计给恰好在此前领先的人）。哪一种更可能：领先均分为10回合对10回合，还是一位朋友领先全部20回合？
显示解答
答案 一位朋友领先全部20回合远更可能：计入任一朋友为35.2%，而均分10对10为6.1%。
公平累计比分在2k个回合后持平的概率为u = C(2k, k)/2²ᵏ：10个回合后为0.246，20个回合后为0.176。一个经典结果——反正弦定律——称，在2n个回合中，一位指定朋友恰好领先2k个回合的概率为u(2k) × u(2n − 2k)。
领先全部20回合：对每位朋友均为u(20) × u(0) = 0.176，两者合计35.2%。均分领先：u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%，是所有分配中最不可能的。
因此，在公平游戏中，领先者很少易手。整个晚上一直领先或一直落后的玩家没有见到任何异常，这既不说明轮盘如何，也不说明技巧如何。Epstein（2013）为较长游戏给出同一定律：一半时间里，较幸运的一方领先超过游戏过程的85%。
轻松一刻
平均值会收敛。总额只会离去。
来源
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.