轮盘赌连续结果的概率
一种颜色的长连开很常见。但它们对下一次旋转毫无意义。
连续五个红：2.7%。连续十个：0.074%。在200次旋转的场次中，出现一色连续六次的概率超过一半。
连输何时出现
单零轮盘的等额赔率注在37次旋转中有19次会输。每一行显示给定一串旋转全部输掉的概率，以及每次输后将赌注加倍的马丁格尔玩家到此时已损失多少。
| 连输次数 | 概率 | 约1比 | 至今损失 | 下一注 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
概率是19/37每次输掉后自乘一次，从给定的一次旋转开始计算。一场较长的场次有许多可开始这种连续输局的旋转，因此一晚下来，其概率远高于单行所示。
单次连开
接下来k次旋转全为红赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→的概率数学概率结果发生的可能性，从0到1或0%到100%。押一个号码：1/37 = 2.70%。阅读全文→是(18/37)ᵏ。连续两次：23.7%。连续五次：2.7%。连续十次：0.074%，约为每1,350次中有1次。连续二十次：每1.8百万次中有1次。连续二十六次，即蒙特卡洛的纪录：每137百万次中有1次。这些是从某一特定旋转开始的特定连开的概率，而几乎没人实际在问这个问题。
在一个场次中
人们真正想问的是“在我的场次中某处会不会出现连续k次？”，答案远大于(18/37)ᵏ，因为200次旋转的场次提供近200个连开的起点。相同颜色、红或黑赌注黑押18个黑色号码的等额赔率注。法语：noir。阅读全文→连续六次或更多，在200次旋转的场次中出现的概率约为94%；连续八次或更多约为47%；连续十次或更多约为14%。若提前指定颜色，概率降至约75%、27%和7%。一个玩家坐上一晚，每晚都会看到长连开。
为何马丁格尔在意
每个负向加注系统策略加注系统依据先前结果改变本金的任何规则。负向加注系统在亏损后提高本金，正向加注系统在获胜后提高。阅读全文→都有使其失败的连开长度：以$10为基础、限额$500时连续六次亏损；斐波那契策略斐波那契遵循数列1、1、2、3、5、8、13…的加注系统：亏损后前进一步，获胜后退回两步。阅读全文→为十次；在十二数注赌注十二数注1–12、13–24或25–36，赔付2:1。阅读全文→上三倍加注为五次。等额赔率注连续六次亏损的概率为(19/37)⁶ ≈ 1.8%（每次尝试），而200次旋转的场次或许包含100次尝试，因此这种长度的场次约五场中四场会发生失败。轮盘赌中连开的概率正是悬崖并不罕见的原因。
热号和冷号
同一算术适用于单号注赌注单号注一个号码，赔付35:1。阅读全文→。300次旋转中，每个号码的期望出现次数为8.1；标准差数学标准差方差的平方根；结果与期望值之间的典型距离。阅读全文→约为2.8。每次都会仅因随机性而有某号码出现15次、某号码只出现2次。突出“热”号的结果面板，突出的是正态分布的上端。实验室说明一个热号误区热号近期出现次数高于预期的号码。在公平轮盘上，它不能预测任何事。阅读全文→需要多少次旋转才有含义（数千次，且来自同一台已识别轮盘）。
独立性是全部关键
连续十个红不会让黑更可能，也不会让红更可能。两者都是18/37。连开是随机序列的属性，若不存在反而可疑：200次旋转中没有长于四次的连开，比连续十二次的序列更能说明有人篡改。
公式
问题
1913年八月18日蒙特卡洛连续26个黑是著名纪录。据报道，1943年一家美国赌场曾连续32个红。考虑到赌场运行的旋转次数，两者都与随机性一致。
无论哪边都是18/37。按你的计划下注，或者不下注。
不。偏差表现为某些号码槽设备号码槽转子上37个带编号隔间中的一个。也称 slot、cup。阅读全文→在数千次旋转中更常出现，而不是某一颜色的连开。
数学趣题
请先自己试一试。每个解答都已折叠；准备好后再打开。
平均而言，欧式轮盘要旋转多少次，37个号码中每一个才都至少出现过一次？
显示解答
答案 平均约155次旋转；中位数为147。
每次等待一个新号码来计数。第一次旋转必然显示新号码。已见过1个号码后，37个号码槽设备号码槽转子上37个带编号隔间中的一个。也称 slot、cup。阅读全文→中有36个是新的，因此下一个新号码平均要37/36次旋转。已见过k个号码后，需要37/(37 − k)次。
将等待时间相加：37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5次旋转。
其中大部分来自结尾。仅最后一个号码平均就需37次旋转，最后五个约需85次。在美式轮盘上，同一和约为161。这是集券人问题；Wizard of Odds给出的平均值相同。
在欧式轮盘的37次旋转中，即每个号码槽一次旋转，预期会看到多少个不同号码？
显示解答
答案 约23.6个。约三分之一的号码，即约13个，完全不会出现。
取一个号码，例如17。每次旋转中它不出现的概率为36/37，因此37次旋转中全未出现的概率为(36/37)³⁷ ≈ 0.363。
每个号码的概率相同，因此平均有37 × 0.363 ≈ 13.4个号码缺席，而37 − 13.4 ≈ 23.6个号码会出现，其中许多会出现两次或更多。
轮盘赌玩家称此为三分之一法则。它并非定律，只是重复出现的算术：在与轮盘号码槽数一样长的一段旋转中，约三分之一号码不会出现，公平轮盘和其他轮盘皆然。对于38个号码槽，该比例也为(37/38)³⁸ ≈ 0.363；对大型轮盘，它接近1/e ≈ 0.368。
朋友给你看两份各有50个颜色的列表，红色赌注红押18个红色号码的等额赔率注。法语：rouge。阅读全文→或黑色赌注黑押18个黑色号码的等额赔率注。法语：noir。阅读全文→，都称来自剔除零号轮盘零号单个绿色号码槽，任何等额赔率注、十二数注或列注均不覆盖；它是庄家优势的来源。也称单零、0。阅读全文→后的轮盘。一份切换颜色25次，最长连串为六；另一份切换35次，且从未连续超过三。哪一份是编造的？
显示解答
答案 第二份。真实列表约切换24或25次。切换35次的列表约每500份出现一次，而最长连串不超过三的列表约每100份出现两次。
每种新颜色要么重复上一个，要么切换，两者各占一半，因此49次切换机会平均给出24.5次切换，上下约3.5次。三十五比平均值高出三个这样的步长；公平轮盘约每500份列表产生这么多切换。
连串讲的是同一件事。真实的50项列表约98%的时间有四个或更多的连串，最长连串最常为五或六。
被要求编造随机列表的人会切换得太频繁，因为四个或五个的连串在他们看来像一种模式。Taylor（2021）在学生编造的抛硬币列表中显示了同样的迹象：真实随机性比人们预期的连串更多。
一本赌场故事书讲述一名玩家的号码连续五次开出，并称之为纪录。在欧式轮盘上这有多罕见？在一家有20张赌桌、每张昼夜每小时旋转40次的赌场中，某处多常应发生一次？
显示解答
答案 指定号码连续五次：1比69百万。任一号码首次出现后再连续出现四次：1比1.87百万。该赌场每年约旋转7百万次，因此应每年看到三或四次连续五个。
指定号码每次旋转以1/37的概率开出，因此连续五次的概率为(1/37)⁵ = 1/69,343,957。但没有人预先指定号码。无论第一次开出什么，接下来四次必须重复它：(1/37)⁴ = 1/1,874,161。
20张赌桌 × 每小时40次旋转 × 24小时 × 365天 = 每年7,008,000次旋转。每次旋转都可开始一段连串，所以赌场预期每年有7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7次连续五个。
这类事件没有正式纪录，也无需有：一张赌桌上的罕见事件，在整个赌场中是常规事件，而故事讲述的正是发生事件的那张赌桌。Goldman（2007）中的故事设定在双零轮盘上，数值为1比79百万和1比2.09百万。
轻松一刻
长连开就是随机的样子。
来源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.